On quadrille le terrain avec des cases de 10km x 10km. On a donc 100 carrés de 100km² sur le terrain. Si à chaque intersection on place une verdure (un arbre par exemple) et qu'on laisse vide les carrés, chaque point (arbre dans l'exemple) sera relié et espacé de 10km.

L'autre cas, on remplit chaque carré et on laisse vide les intersections.

Ça me fait penser aux trucs d'illusion optique http://goo.gl/fcnNW .

Non. Dans ton premier exemple il existe des points de prairie espacés de 10km, et inversement pour ton deuxième exemple.

Pour simplifier je vais dire vide pour prairie et plein pour forêt.

Dans ta surface tu veux une configuration telle que :
– d'un point vide, on puisse atteindre toutes les points pleins avec une distance de 10km.
– d'un point plein, on puisse atteindre toutes les points vides avec une distance de 10km.

Et ça avec UNE seule configuration ? (si c'est possible).

Heu… non.

Si on à 100% forêt ou 100% prairie, on peut toujours trouver 2 points distants de 10km dans la même zone.
Si on divise le champ en deux : moitié prairie, moitié forêt. On peut également toujours trouver les deux points distants de 10 km dans chaque partie.
Pour moi, ça fonctionne toujours quelles que soient les proportions au moins pour un (forêt ou prairie).

Ok, maisd ans ce cas, prouve le.
Pour l'instant, rien ne me dit qu'il n'existe pas une configuration avec une infinité de foret et de prairie ponctuelle ou chaque point de prairie est entouré d'un cercle à 10km de forêt, et inversement…

Edit: Bon, je vous aide: La propriété est vraie (il est toujours possible de trouver un couple de point du même type, espacé de 10km). Il faut maintenant le prouver
edit2: Une des démonstration tient en 2 lignes, et ne nécessite que du bon sens.
edit3: je viens de penser à une deuxième démonstration, en 3 lignes, et par l'absurde
edit4: mais qu'est-ce que vous branlez les mecs? ^^

La condition pour que ça fonctionne est qu'il n'y ait qu'une forêt ou prairie (pas de morcellement). Ensuite, que te dire de plus que je n'ai déjà dit ? C'est le principe des vases communicants, si à un instant T ça ne marche pas pour un, ça marche pour l'autre et vice versa.

Indice: la démonstration la plus élégante est basée sur le principe du pigeonnier: si on a n pigeonniers, et m pigeons dedans, avec m strictement supérieurs à n, alors il existe un pigeonnier possedant au moins 2 pigeons.
Ou en terme mathématique: Soit n ensembles, et m éléments appartenant à ces ensemble. Si m>n, alors il existe un ensemble possédant au moins 2 éléments.

Soit A l'ensemble des points prairies, soit B l'ensemble des forêts, soit C l'ensemble du terrain.

Soit a un point dans C
Soit b un point dans C

A et B sont inclus dans C (trivial).
Si A et B et C non vide, alors :
– E a tel que a inc. A et b inc. dans A
– E a tel que b inc. B et b inc. dans B

PS : ça fait 5 ans que je n'ai pas fait de th. des ensembles.

Je n'ai pas compris ta démonstration, mais tu ne mentionnes aucune notion de distance, donc ça me parait mal parti. Et aucune notion sur la théorie des ensemble n'est nécessaire.

Intuitivement, je dirais que pour prouver que ce n'est pas possible, il faudrait dessiner la forêt sous la forme d'une spirale qui s'élargit de façon constante (ne jamais avoir 10 km entre chaque point) depuis le centre du carré. Hors, le carré ayant des dimensions finies, la spirale doit à un moment donné heurter un des côtés, ce qui met fin à la démonstration d'impossibilité. Donc, c'est possible. Enfin, je ne sais pas si je me fais bien comprendre… :/

Edit : et je ne suis pas sûr de comprendre moi-même, hein.

Si ta spirale est continue, tu pourras trouvé 2 points espacé de 10 km du même type (trace un cercle autour d'un point de la spirale: il coupe la spirale en au moins 2 points)

Bon je l'écris comme ça :
On considère une parcelle de terrain contenant une forêt et une prairie non morcelées.
Si la forêt présente un côté inférieur à 10 km, la prairie couvrant le reste de la superficie tu terrain, il sera toujours possible de trouver deux points distants de 10 km dans la prairie. La réciproque est vraie.
Si la forêt et la prairie présentent une superficie égale (ou qu'elle sont toutes deux un côté supérieur à 10 km), il sera toujours possible de trouver deux points distants de 10 km à la fois dans la prairie et dans la forêt.

Oui, c'est exact. Mais peut-on prouver la chose sans passer par des formules mathématiques ? (ce n'est pas vraiment mon R, mais ça m'intéresse)

Oui Be@, mais quid d'une situation ou la forêt et la prairie sont constituées d'une infinité de zones ponctuelles discontinues?

Je me dis que dans ce carré, il y a une infinité de cercles de 10km de diamètre, ce qui revient à dire que sur la circonférence d'un de ces cercles, on trouvera forcément deux points du même type.
Ce raisonnement n'est pas trop “torché” ?

Pour moi, en considérant une infinité de zones, la logique restera la même.

Staafu, c 'est l'idée, mais il te faut l'écrire proprement: “un de ces cercles”: lequel? essaie d'en construire un…
Si vous en avez marre, vous le dites, et je vous file une solution (mais vous allez vous en vouloir…)

Sur le cercle qui a pour diamètre l00 km, et le même centre que le carré ?

genre le cercle qui s'inscrit dans le carré